Materi Matematika Kelas 10 – Pengantar Fungsi

Dalam matematika fungsi adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B. Fungsi juga bisa disebut sebagai pemetaan apabila anggota himpunan A berpasangan dengan anggota dari himpunan B. Fungsi atau pemetaan ini bisa disajikan dalam bentuk himpunan berpasangan terurut, diagram panah, diagram cartesius dan juga rumus. Adapun fungsi f yang memetakan suatu himpunan A ke himpunan B ditulis dengan notasi seperti berikut : f : A → B

Anggota yang berada dalam himpunan A dinamakan dengan domain (daerah asal) dinotasikan dengan Df. Sedangkan anggota dari himpunan B disebut dengan kodomain (daerah kawan) dinotasikan dengan Kf. Dan ada pula istilah range (daerah hasil) dinotasikan dengan Rf.

Suatu fungsi atau pemetaan dapat disajikan dalam bentuk himpunan pasangan terurut, rumus, diagram panah, atau diagram cartesius. Fungsi f yang memetakan himpunan A ke himpunan B ditulis dengan notasi:

Dengan:

A disebut domain (daerah asal) dinotasikan $\text{[math]}$
B disebut Kodomain (daerah kawan) dinotasikan $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ disebut range (daerah hasil), dinotasikan dengan $\text{[math]}$

Sebagai contoh:

Contoh 1	Contoh 2	Contoh 3

Bukan fungsi karena terdapat anggota di A yang tidak dihubungkan dengan anggota di B	Bukan fungsi karena terdapat anggota di A yang dihubungkan lebih dari satu dengan anggota di B	Merupakan fungsi karena setiap anggota di A tapat dihubungkan dengan satu anggota di B

Sifat-sifat Fungsi

Fungsi surjektif

Pada fungsi $\text{[math]}$ , jika setiap elemen di B mempunyai pasangan di A atau $\text{[math]}$ , atau setiap $\text{[math]}$ terdapat $\text{[math]}$ sedemikian sehingga $\text{[math]}$ . Contoh:

Fungsi Into

Pada fungsi $\text{[math]}$ , jika terdapat elemen di B yang tidak mempunyai pasangan di A.

Contoh:

Fungsi Injektif

Pada fungsi $\text{[math]}$ , jika setiap elemen di B mempunyai pasangan tepat satu elemen dari A.

Contoh:

Fungsi Bijektif

Jika fungsi $\text{[math]}$ merupakan fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif.

Contoh:

Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi merupakan susunan dari beberapa fungsi yang terhubung dan bekerja sama.

Sebagai ilustrasi jika fungsi f dan g adalah mesin yang bekerja beriringan. Fungsi f menerima input berupa (x) yang akan diolah di mesin f dan menghasilkan output berupa $\text{[math]}$ . Kemudian $f(x)$ dijadikan input untuk diproses di mesin g sehingga didapat output berupa $g(f(x))$ .

Ilustrasi tersebut jika dibuat dalam fungsi merupakan komposisi g dan f yang dinyatakan dengan $g o f$ sehingga:

$(g o f)(x) = g(f(x))$

dengan syarat: $\text{[math]}$

Komposisi bisa lebih dari dua fungsi jika $\text{[math]}$

, $\text{[math]}$

, dan $\text{[math]}$

, maka $h o g o f:A rightarrow D$

dan dinyatakan dengan:

$(h o g o f)(x) = h(g(f(x)))$

Sifat-sifat fungsi komposisi:

Operasi pada fungsi komposisi tidak besifat komutatif $(g o f)(x) not= (f o g)(x)$

Operasi bersifat asosiatif: $(h o g o f)(x) = (h o(g o f))(x) = ((h o g) o f)(x)$

Contoh:

Jika $f(x) = 2x + 3$

dan $(f o g)(x) = 2x^2 + 6x - 7$

, maka g(x) adalah

$(f)(g(x)) = 2x^2 + 6x - 7$

$2(g(x)) + 3 = 2x^2 + 6x - 7$

$g(x) = x^2 + 3x - 5$

Fungsi Invers

Jika fungsi $\text{[math]}$

memiliki relasi dengan fungsi $\text{[math]}$

, maka fungsi g merupakan invers dari f dan ditulis $f^{-1}$

atau $g = f^{-1}$

. Jika $f^{-1}$

dalam bentuk fungsi, maka $f^{-1}$

disebut fungsi invers.

Menentukan Invers

Menentukan invers suatu fungsi $y = f(x)$

dapat ditempuh dengan cara berikut:

Ubah persamaan $y = f(x)$

ke dalam bentuk $x = f(y)$

Gantikan x dengan $f^{-1}(y)$

sehingga $f(y) = f^{-1}(y)$

Gantikan y dengan x sehingga diperoleh invers berupa $f^{-1}$

Contoh:

Menentukan invers dari $=x^2 - 2x + 4$

$y = [x^2 - 2x + 4$

$y = (x - 1)^2 + 3$

$(x - 1)^2 = y - 3$

$\text{[math]}$

Sehingga inversnya adalah

$\text{[math]}$

dan bukan merupakan fungsi karena memiliki dua nilai.

Rumus Fungsi Invers

JENIS FUNGSI	f(x)	$f^{-1}(x)$
Fungsi linier	$f(x) = ax + b$	$f^{-1}(x) = frac{x-b}{a}$
Fungsi pecahan linier	$f(x) =frac{ax+b}{cx+d}$	$f^{-1}(x) = frac{-dx+b}{cx-a}$
Fungsi Irrasional	$f(x) =sqrt[n]{ax+b}$	$f^{-1}(x) = frac{x^n-b }{a}$
Fungsi eksponen	$f(x) = a^x$	$f^{-1}(x) = ^alog x$
Fungsi logaritma	$f(x) = ^alog x$	$f^{-1}(x) = a^x$

Contoh

JENIS FUNGSI	$f(x)$	$f^{-1}(x)$
Fungsi linier	$f(x) = 2x+3$	$f^{-1}(x) = frac{x-3}{2}$
Fungsi pecahan linier	$f(x) = frac{2x+3}{4x+5}$	$f^{-1}(x) = frac{-5x+3}{4x-2}$
Fungsi Irrasional	$f(x) = sqrt[4]{2x+3}$	$f^{-1}(x) = frac{x^4-3}{2}$
Fungsi eksponen	$f(x) = 2^x$	$f^{-1}(x) = ^2log x$
Fungsi logaritma	$f(x) = ^2log x$	$f^{-1} = 2^x$

Invers dari Fungsi Komposisi

Berdasar gambar, jika f, g, h adalah fungsi dengan contoh $f(x) = 2x + 3$ , $g(x) = 3x - 5$ , dan $h(x) = x =1$ .

Jika $f^{-1},g^{-1},h^{-1}$ adalah invers fungsinya yaitu $f^{-1}(x) = frac{x-3}{2}$ , $g^{-1}(x) = frac{x+3}{3}$ , dan $h^{-1}(x) = x - 1$ , maka dirumuskan beserta contohnya:

$(g circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} circ g^{-1})(x)$
$(g circ f)^{-1}(x) =f^{-1}(g^{-1}(x))$
$(g circ f)^{-1}(x) = frac{(g^{-1}(x))-3}{2} = frac{frac{x+5}{3}-3}{2} = frac{frac{x-4}{3}}{2} = frac{2x-8}{3}$
$(f circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} circ f^{-1})(x)$
$(f circ g)^{-1}(x) = g^{-1}(f^{-1}(x))$
$(f circ g)^{-1}(x) = frac{frac{x-3}{2}+5}{3} = frac{frac{x+7}{2}}{3} = frac{3x+21}{2}$
$(h circ g circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} circ g^{-1} circ h^{-1})(x)$
$(h circ g circ f)^{-1}(x) = f^{-1}(g^{-1}(h^{-1}(x)))$
$(h circ g circ f)^{-1}(x) = f^{-1} (frac{(x-1)+5}{3}) = f^{-1} (frac{x+4}{3})$
$(h circ g circ f)^{-1}(x) = frac{(frac{x+4}{3})-3}{2} = frac{(frac{x-5}{3})}{2} = frac{2x-10}{3}$
$(f circ g circ h)^{-1}(x) = (h^{-1} circ g^{-1} circ f^{-1})(x)$
$(f circ g circ h)^{-1}(x) = h^{-1} (g^{-1}(f^{-1}(x)))$
$(f circ g circ h)^{-1}(x) = h^{-1}(frac{3x+21}{2})$
$(f circ g circ h)^{-1}(x) = (frac{3x+21}{2}) - 1 = frac{3x+19}{2}$

Berdasarkan rumusan tersebut, dapat diturunkan operasi komposisi fungsi sebagai berikut:

Jika diketahui $g(x)$

dan $(f circ g)(x)$

atau $(g circ f)(x)$

, maka $(f circ g circ g^{-1})(x) = (g^{-1} circ g circ f)(x) = f(x)$

Jika diketahui $f(x)$

dan $(f circ g)(x)$

atau $(g circ f)(x)$

, maka $(f^{-1} circ f circ g)(x) = (g circ f circ f^{-1})(x) = g(x)$

Jika diketahui $f(x)$

, $g(x)$

, dan $(f circ g circ h)(x)$

, maka $(f circ g)^{-1}((f circ g circ h)(x))$

Jika diketahui $f(x)$

, $h(x)$

, dan $(f circ g circ h)(x)$

, maka $f^{-1}((f circ g circ h)(h^{-1}(x)))$

Contoh Soal Fungsi Komposisi Fungsi Invers dan Pembahasan

Contoh Soal Fungsi Komposisi
Jika $f(x) = frac{x}{x-1}, x not= 1$ dan $g(x) = f(x^2 +1)$ , tentukanlah nilai $g(f(x))$
Pembahasan
$g(x) = f(x^2+1)$
$g(x) = frac{(x^2+1)}{(x^2+1)-1} = frac{x^2+1}{x^2}$
$g(x) = 1+ frac{1}{x^2}$
Maka:
$g(f(x)) = 1 + frac{1}{(f(x))^2}$
$g(f(x)) = 1 + frac{1}{(frac{x}{x-1})^2} = 1 + (frac{x-1}{x})^2 = 1 + frac{x^2-2x+1}{x^2}$
$g(f(x)) = 2 - frac{2}{x} + frac{2}{x} + frac{1}{x^2}$