Home » Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Dalam kesempatan ini kita akan belajar rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut dan menggunakan rumus tersebut dalam menyelesaikan soal yang berkaitan dengan jumlah dan selisih dua sudut.
Fungsi dari Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut Sinus, Cosinus, dan Tangen digunakan untuk menentukan nilai sudut yang tidak ada dalam sudut istimewa.
1. Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Kita akan mempelajari bagaimana proses menemukan rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut. Perhatikanlah gambar di samping. Diketahui lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari 1 satuan.
Dengan mengingat kembali tentang koordinat Cartesius, maka:
a. koordinat titik A (1, 0)
b. koordinat titik B (cos A, sin A)
c. koordinat titik C {cos (A + B), sin (A + B)}
d. koordinat titik D {cos (–B), sin (–B)} atau (cos B, –sin B)
Selanjutnya AC = BD maka AC2 + DB2
{cos (A + B) – 1}2 + {sin (A + B) – 0}2 = {cos B – cos A}2 + {–sin B – sin A}2
cos2 (A + B) – 2 cos (A + B) + 1 + sin2 (A + B) = cos2 B – 2 cos B cos A + cos2 A +
sin2 B + 2 sin B sin A + sin2 A
2 – 2 cos (A + B) = 2 – 2 cos A cos B + 2 sin A sin B
2 cos (A + B) = 2 (cos A cos B – sin A sin B)
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
Rumus cosinus jumlah dua sudut:
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
Dengan cara yang sama, maka:
cos (A – B) = cos (A + (–B))
cos (A – B) = cos A cos (–B) – sin A sin (–B)
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
Rumus cosinus selisih dua sudut:
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
Contoh soal dan pembahasan penggunaan rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut.
Diketahui cos A = 5/13 dan sin B = 24/25 , sudut A dan B lancip. Hitunglah cos (A + B) dan
cos (A – B).
Penyelesaian:
cos A = 5/13 , maka sin A = 12/13
sin B = 24/25 , maka cos B = 7/25
cos (A + B) = cos A⋅ cos B – sin A⋅ sin B
= 5/13 ⋅ 7/25 – 12/13 ⋅ 24/25
= 35/325 − 288/325
= − 253/325
cos (A – B) = cos A⋅ cos B + sin A⋅ sin B
= 5/13 ⋅ 7/25 + 12/13 ⋅ 24/25
= 35/325 + 288/325
= 323/325
2. Rumus Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Perhatikan rumus berikut ini.
sin (A – B) = sin {A + (–B)}
= sin A cos (–B) + cos A sin (–B)
= sin A cos B – cos A sin B
Rumus sinus selisih dua sudut:
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
Contoh soal dan pembahasan penggunaan rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut.
Diketahui cos A = – 4/5 dan sin B = 5/13 , sudut A dan B tumpul. Hitunglah sin (A + B) dan
sin (A – B).
Penyelesaian:
cos A = – 4/5 , maka sin A = 3/5 (kuadran II)
sin B = 5/13 , maka cos B = – 12/13 (kuadran II)
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
= 3/5 . (–12/13) + (–4/5) . 5/13
= –36/65 – 20/65
= – 56/65
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
= 3/5 . (–12/13) – (–4/5) . 5/13
= –36/65 + 20/65
= – 16/65
3. Rumus Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Rumus tangen jumlah dua sudut:
Contoh soal dan pembahasan penggunaan rumus tangen jumlah dan selisih dua sudut.
Tanpa menggunakan tabel logaritma atau kalkulator, hitunglah tan 105°.
Penyelesaian:
tan 105° = tan (60 + 45)°
= tan 60° tan 45°
1 tan60 tan45
Berikut adalah contoh soal yang berkaitan dengan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut.
Latihan 1 Diketahui cos α = 3/5 dan sin β = 5/13. Jika α adalah sudut lancip dan β sudut tumpul, tentukan nilai dari sin (α – β) !
Jawab : α lancip berarti α berada di kuadran I. β tumpul berarti β berada di kuadran II.
cos α = 3/5 → sin α = 4/5 sin α bernilai positif karena α berada di kuadran I.
sin β = 5/13 → cos β= -12/13 cos β bernilai negatif karena β berada di kuadran II.
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β sin (α – β) = 4/5 . (-12/13) – 3/5 . 5/13 sin (α – β) = -48/65 – 15/65 sin (α – β) = -63/65
Latihan 2 Diketahui A, B dan C adalah sudut-sudut suatu segitiga. Jika tan A = 1/3 dan tan B = 1/2, tentukan nilai dari cos C !
Jawab :
tan A = 1/3 → sin A = 1/√10 dan cos A = 3/√10 tan B = 1/2 → sin B = 1/√5 dan cos B = 2/√5
A + B + C = 180° C = 180° – (A + B)
cos C = cos (180° – (A + B)) cos C = -cos (A + B) cos C = -(cos A cos B – sin A sin B) cos C = -(3/√10 . 2/√5 – 1/√10 . 1/√5) cos C = -(6/√50 – 1/√50) cos C = -5/√50 cos C = –12
√2
Latihan 3 Segitiga PQR siku-siku di P. Jika cos (P + Q) = 2/3, tentukan nilai dari sin Q + cos R !
Jawab : Karena sudut P siku-siku, maka P = 90°
cos (P + Q) = 2/3 cos (90° + Q) = 2/3 cos 90° cos Q – sin 90° sin Q = 2/3 0 . cos Q – 1 . sin Q = 2/3 0 – sin Q = 2/3 sin Q = -2/3
P + Q + R = 180° 90° + Q + R = 180° R = 90° – Q
cos R = cos (90° – Q) = sin Q diperoleh cos R = sin Q = -2/3
Jadi, sin Q + cos R = -2/3 + (-2/3) = -4/3
Latihan 4 Diketahui A – B = 30° dengan sudut A dan B lancip. Jika sin A cos B = 7/10, tentukan nilai sin (A + B) !
Jawab : Karena A – B = 30°, maka sin (A – B) = sin 30° = 1/2
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B 1/2 = 7/10 – cos A sin B cos A sin B = 7/10 – 1/2 = 1/5
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin (A + B) = 7/10 + 1/5 sin (A + B) = 9/10
Jadi, sin (A + B) = 9/10
Latihan 5 Diketahui α, β dan γ adalah sudut-sudut suatu segitiga. Jika cos γ = -4/√65 dan tan α + tan β = 7/6, tentukan tan α tan β !
